题目

定义域为R的奇函数f(x)=f(x-2k),且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
1,求f(x)在[-1,1]上的解析式.
2,证明,f(x)在(0,1)上是减函数.
3.当m取何值,方程f(x)=m在(0,1)上有解

提问时间：2020-11-10

答案

1.由奇函数,f(x)=-f(-x),所以f(0)=0
x属于(-1,0)时,-x属于(0,1),因此f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]
再由于奇函数,因此f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/[4^(-x)+1]
化简为 f(x)=-2^x/(4^x+1)
由周期性可知f(-1)=f(1),由奇函数,f(-1)=-f(1),故f(1)=f(-1)=0
故x在[-1,1]时,f(x)为分段函数,区间分成-1,(-1,0),0,(0,1),1五段函数分别为 0,-2^x/(4^x+1),0,2^x/(4^x+1),0
2.笨办法是求导,然后看导数是否小于零
还有办法可能简单些
设g(x)=2^x,则f(x)在(0,1)上为f(x)=f[g(x)]=g(x)/[g(x)*g(x)+1]
显然g(x)在(0,1)上为增函数,且1