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题目
已知抛物线y=a(x-1)2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且△PAB为直角三角形.
(1)设抛物线的对称轴与x轴交于E点,那么PE与AB有何数量关系?请说明其理由;
(2)若将抛物线向上平移2单位时,抛物线的顶点恰好在x轴上,不解方程求关于x的一元二次方程a(x-1)2+m=0的根;
(3)试写出a与m之间的函数关系式,并指明m的取值范围.

提问时间:2020-11-10

答案
(1)PE=
1
2
AB.
理由如下:∵抛物线y=a(x-1)2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且△PAB为直角三角形,
∴△PAB是等腰直角三角形,∠APB=90°,
∴PE是等腰直角三角形斜边上的中线,
∴PE=
1
2
AB;
(2)∵若将抛物线向上平移2单位时,抛物线的顶点恰好在x轴上,
∴PE=2,
∵PE=
1
2
AB,
∴AB=4,AE=BE=2,
∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴关于x的一元二次方程a(x-1)2+m=0的根为x1=-1,x2=3.
(3)∵PE=|m|,
∴AB=2|m|,
∴点A(1-|m|,0),B(1+|m|,0),
将点A坐标代入抛物线得y=a(1-|m|-1)2+m=0,
解得m=0或am=-1,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴m≠0,
∴am=-1(m≠0).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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