题目

1^2011+2^2011+~~~~+8^2011除以9的余数

提问时间：2020-11-09

答案

1^2011=1 ①
2^2011
=(3-1)^2011=C(2011,2011)3^2011×(-1)^0
+C(2011,2010)3^2010×(-1)^1+C(2011,2010)3^2010×(-1)^1+.+C(2011,0)3^0×(-1)^2011
其中这么多项当中,只有最后两项没有9这因数,于是只要考虑
C(2011,1)3^1×(-1)^2010+C(2011,0)3^0×(-1)^2011=2011×3-1 ②
同样道理
3^2011不用考虑,一定能被9整除
4^2011=(3+1)^2011同样道理,只要考虑
C(2011,1)3^1×(1)^2010+C(2011,0)3^0×(1)^2011=2011×3+1 ③
5^2011=(6-1)^2011同样道理,只要考虑
C(2011,1)6^1×(1)^2010+C(2011,0)6^0×(-1)^2011=2011×6-1 ④
6^2011不用考虑,一定能被9整除
7^2011=(6+1)^2011同样道理,只要考虑
C(2011,1)6^1×(1)^2010+C(2011,0)6^0×(1)^2011=2011×6+1 ⑤
8^2011=(9-1)^2011同样道理,只要考虑
C(2011,1)9^1×(1)^2010+C(2011,0)6^0×(-1)^2011=2011×9-1 ⑥
综上所述
于是只要判断
1+2011×3-1 +2011×3+1 +2011×6-1 +2011×6+1+2011×9-1 除以9的余数就可以了
有1+2011×3-1 +2011×3+1 +2011×6-1 +2011×6+1+2011×9-1 =2011×27
于是分明能被9整除
于是余数是0
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