题目

正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC中点,当AB1垂直于BC1时,求二面角D-BC1-C的余弦值

提问时间：2020-11-09

答案

设正三角形的边长为a,
以下,由条件:AB1垂直于BC1,下求其高H.
作BE//BC1, 交CB的延长线于E. 连接AE, B1E. 知角AB1E= 90度.
在三角形ABE中,角ABE=120度,AB= BE = a. 由余弦定理,求得AE =根号[3a^2]= (根号3)a.
在三角形BB1E中, 求得B1E^2= a^2 +H^2.
在三角形AB1E中, 由勾股定理,得关系式:3a^2 = (AB1)^2 +(B1E)^2
                                                            3a^2 = a^2 +H^2  +a^2 +H^2
得:a^2 = 2H^2.  或H= (根号2)a/2.
以下用面积投影定理进行.
作DF垂直于BC于F. 连接C1F.
知:DF垂直于平面BCC1B1.
故F为点D在平面BCC1B1上的投影,  而三角形BFC1为三角形BDC1在平面BCC1B1上的投影.
容易知:BF = (3/4)a, 从而三角形BFC1的面积为: 
S = (1/2)(3/4)a*H= (3/8)aH=3(根号2)(a^2)/16.                                                           ( 1 )
在三角形BDC1中:BD = (根号3)a/2.    DC1 =根号[(a^2)/4 + H^2 ]=(根号3)a/2.
        (BC1)^2=a^2 + (a^2)/2 = 3(a^2)/2
由于有:(BC1)^2 = (DC1)^2 +BD^2, 知角BDC1 = 90度.
故三角形BDC1的面积为A = (1/2)(3/4)a^2.  =3(a^2)/8                                                   (2)
由投影定理: S = A*(二面角D-BC1-C的余弦值)
得:二面角D-BC1-C的余弦值= S/A = (根号2)/2.