题目

椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2点,A(4,m)在椭圆E上,且向量AF2*向量F1F2=0,点D（2,0）到直线F1A的距离DH=18/5
（1）椭圆E的方程
（2）设点P为椭圆E上任意一点,求向量PF1*向量PD的取值范围

提问时间：2020-11-09

答案

（1） AF2 * F1F2 =0,所以两向量垂直,
则F2坐标为（4,0）,F1坐标为（-4,0）,c=4,
椭圆准线x=+/-a^2/4；
三角形F1DH相似与三角形F1AF2,则F1H/F1F2 = DH/F2A ; (1)
F1H=根号(F1D^2-DH^2)=根号(6^2-(18/5)^2)=24/5;
所以由（1）式得：(24/5)/8=(18/5)/m;得到m=6；
根据准线的性质可得：a^2/4-4=6 ,所以a=2倍的根号10；
则b=根号(a^2-c^2)=2倍的根号6;
所以椭圆E的方程为：x^2/40+y^2/24=1;
(2) 设P点坐标(x,y),设M=PF1 * PD=（x+4,y）*（x-2,y）=x^2+2x-8+y^2；
则M=x^2+2x-8+y^2=x^2+2x-8+（24-3x^2/5）
=2x^2/5+2x+16 (x大于等于-2倍的根号10,小于等于2倍的根号10)
在二次函数的对称轴x=-2.5上取的最小值Mmin=17/2;
在x=2倍的根号10时取得最大值Mmax=32+4倍的根号10.
综上：取值范围是 17/2