题目

一道关于高中数学微积分的题
∫ -1^0 x² dx =∫ 0^1 x² dx
(-1在下,0在上） （0在下,1在上）
这个命题为什么是正确的?
被积分的原函数不是x³/3吗？是奇函数，图像关于原点对称，那不就是积分互为相反数么？为什么相等啊？
是不是积分表示的只是面积的大小，与正负无关啊？

提问时间：2020-11-09

答案

用代数法:
令x= -t 则∫ -1^0 x² dx = ∫ -1^0 (-t)² d(-t) = -∫ -1^0 t² dt = ∫ 0^1 t² dt = ∫ 0^1 x² dx
用几何法：
∫ -1^0 x² dx 指 x² 在(-1,0)处围成的面积.
∫ 0^1 x² dx 指 x² 在(0,1)处围成的面积.
根据定理祖暅定理,两者肯定相等
被积分的原函数不是x³/3吗?是奇函数,图像关于原点对称,那不就是积分互为相反数么?为什么相等啊
A :x³/3是关于原点对称,请注意你的积分限:
∫ -1^0 x² dx = 0 - (-1/3) = 1/3
∫ 0^1 x² dx = 1/3 - 0 = 1/3
是不是积分表示的只是面积的大小,与正负无关啊?
A :你不应该有这样的想法.面积,正负都是积分的一部分.
反过来说,如果积分和正负无关∫ 0^1 x² dx = ∫ 1^0 x² dx ------这种事情比较难以理解.