题目

一道非常难的数学题,
在直角三角形abc中,∠acb=90°,ac=10cm,bc=5cm,点p从点c出发沿射线ca以每秒2cm的速度运动,同时点q从b出发以每秒1cm的速度运动,设运动时间为t秒.
若∠acb的平分线ce交三角形pcq的外接圆于点e,试探究：整个运动过程中,pc,qc,ec三者存在的数量关系式,并说明理由.

提问时间：2020-11-09

答案

当t＜5秒时,p点在线段ac之间,q点在线段cb之间
pc=2t,qc=5-t
直角△pcq的外接圆的圆心为斜边pq的中点,设圆心为O
∵∠pce,∠pqe是弧pe的圆周角,∠pce=45°
∴∠pqe=45°
同理∠epq=45°
∴ep=eq
∴eo⊥pq
延长eo交cq于d,
可证明△pcq∽△doq
∴od/pc=oq/cq
设圆半径为R,将 pc=2t,qc=5-t代入上式,
得到od=2Rt/（5-t）
∵oe=R
∴de=od+oe=2Rt/（5-t）+R
过e作ef⊥cq交于f
∵ sin∠qpc=（5-t）/2R,
sin∠odq=ef/de=
∠qpc=∠odq
∴ef=（t+5）/2
在直角△ecf中,ec=√2（t+5）/2
当t=5秒时,p与a重合,q与c重合
所以无法组成△pcq,舍去
当t大于5秒时,p点在线段ca延长线上,q点在线段bc延长线上
pc=2t,qc=t-5
直角△pcq的外接圆的圆心为斜边pq的中点,设圆心为O‘,半径为R'
过c作cm⊥oe于m,连接pc,o’e交于n
可证明△po‘n∽△pqc
∴ o’n/qc=po‘/pc,pn/pq=op/pc
pc=2t,qc=t-5代入,得到o‘n=（t-5）R’/2t,pn=R'²/t
∴nc=2t-R'²/t
可证明△po’n∽△mnc
∴可算出mc的值与mm的值
∴可算出em的值
在直角△cme中,利用勾股定理算出ce的值