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题目
已知向量
OA
=(2,2),
OB
=(4,1),点P在x轴上,且使
AP
BP
有最小值,则点P的坐标为(  )
A. (-3,0)
B. (2,0)
C. (3,0)
D. (4,0)

提问时间:2020-11-09

答案
设点P的坐标为(x,0),可得
AB
=(x-2,-2),
BP
=(x-4,-1).
因此,
.
AP
BP
=(x-4)(x-2)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1.
∵二次函数y=(x-3)2+1,当x=3时取得最小值为1
∴当x=3时,
.
AP
BP
取得最小值1,此时P(3,0).
故选:C
设P(x,0),可得
AB
BP
含有x的坐标形式,由向量数量积的坐标运算公式得
.
AP
BP
=x2-6x+10,结合二次函数的图象与性质,可得当x=3时
.
AP
BP
取得最小值1,得到本题答案.

平面向量数量积的运算.

本题给出向量

OA
OB
的坐标,求在x轴上一点P,使
.
AP
BP
有最小值.着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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