题目

已知函数f（x）=log₂x+3，x∈[1，4]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=f（x²）-[f（x）]²，求g（x）的最小值以及相应的x的值．

提问时间：2020-11-09

答案

（1）∵f（x）=log₂x+3在x∈[1，4]上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=log₂1+3=3，
f（x）_max=f（4）=log₂4+3=5
∴函数f（x）的值域是[3，5]．
（2）∵f（x）=log₂x+3，
∴g（x）=f（x²）-[f（x）]²=[log2x2+3]-（log₂x+3）²
=-（log₂x）²-4log₂x-6
=-（log₂x+2）²-2，
∵x∈[1，2]，∴log₂x∈[0，1]，
∴当log₂x=1，x=2时，g（x）取最小值-11，
故g（x）的最小值为-1，相应的x的值为2．