题目

已知向量

a

=（x²，x+1），

b

=（1-x，t），若函数f（x）=

a

•

b

在区间（-1，1）上是增函数，则t的取值范围为______．

提问时间：2020-11-08

答案

∵

a

=（x²，x+1），

b

=（1-x，t），
∴f（x）=

a

•

b

=x²（1-x）+t（x+1）=-x³+x²+tx+1，
∴f′（x）=-3x²+2x+t，
∵函数f（x）=

a

•

b

在区间（-1，1）上是增函数，
∴f′（x）=-3x²+2x+t≥0在（-1，1）上恒成立，
∴t≥3x²-2x在（-1，1）上恒成立，
而函数y=3x²-2x，x∈（-1，1）的值域为[−

1

3

，5）
∴t≥5
故答案为：t≥5

由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x²-2x在（-1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．

本题考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．