题目

多元函数求导问题,求!
设z＝sin(3x－y),x三次方＋2y＝2乘以t的三次方,x－y²＝t三次方＋3t,求dz/dt.

提问时间：2020-11-08

答案

设z=sin(3x-y),x³+2y=2t³,x-y²=t³+3t
求dz/dt.
根据多元函数的全导数法则
dz/dt=(dz/dx)×(dx/dt)+(dz/dy)×(dy/dt)
对于本题
dz/dx=3cos(3x-y)
dz/dy=cos(3x-y)
而dx/dt、dy/dt可由题目中的【x³+2y=2t³,x-y²=t³+3t】得到的对t的导数方程组求得
3x²(dx/dt)+2(dy/dt)=6t²
(dx/dt)-2y(dy/dt)=3t²+3
由方程组可解得
dx/dt=3(2yt²+t²+1)/(3x²y+1)
dy/dt=(3/2)(2t²-3x²t²-3x²)/(3x²y+1)
所以
dz/dt=3cos(3x-y)×3(2yt²+t²+1)/(3x²y+1)+cos(3x-y)×(3/2)(2t²-3x²t²-3x²)/(3x²y+1)
=[cos(3x-y)/(3x²y+1)]×[18yt²+9t²+9+3t²-(9/2)x²t²-(9/2)x²]
=(3/2)[cos(3x-y)/(3x²y+1)]×(12yt²+6t²+6+2t²-3x²t²-3x²)
……貌似很复杂,不知弄错没