题目

关于x的方程sinx+cosx=2m (1)当x∈[0,π]内有且只有一个解,求m的取值范围 （2）当x∈R有解求m的取值范围
（3）x∈[0,2π],有两解α,β,求m的范围,并求出α+β.

提问时间：2020-11-08

答案

sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
(1)当x∈[0,π]
x+π/4∈[π/4,5π/4]
√2sin(x+π/4)∈[-1,√2]
有且只有一个解
从图像得
2m∈[-1,1)
m∈[-1/2,1/2)
（2）当x∈R
√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
2m∈[-√2,√2]
m∈[-√2/2,√2/2]
（3）x∈[0,2π]
x+π/4∈[π/4,9π/4]
√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
有两解α,β
1<2m<√2,-√2<2m<1
2m=√2,-√2时有1根
2m=1时有3根
1/2α+π/4+β+π/4=π/2或3π/2
α+π/4,β+π/4关于x=π/2或3π/2对称
α+β=0或π
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