题目

高中数学导数部分（难）
已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)·(x-c)
若f(x)是R上的增函数,是否存在点P,使f(x)的图像关于点P中心对称?
如果存在,请求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.
无法下手,望高手赐教,

提问时间：2020-11-07

答案

a,b,c都是实数么?
如果是的话,那“若f(x)是R上的增函数”就必须要求a=b=c
不信你求个导,要求f'(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)对任何x大于等于零
代入x=a, 得到(a-b)(a-c)大于等于零
同理,(b-c)(b-a)和(c-a)(c-b)都大于等于零
三个相乘, -[(a-b)(b-c)(c-a)]^2>=0
而我们又知道[(a-b)(b-c)(c-a)]^2>=0
所以只可能(a-b)(b-c)(c-a)=0
就是a=b=c
那么这样就好办了,中心对称点就是(a,0)