题目

已知定圆F1:(x+5)^2+y^2=49,定圆F2:(x-5)^2+y^2=1,动圆M与定圆F1 F2都外切.求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）直线L与轨迹C相交于A,B两点,且A,B的中点为（9,4）,求直线L的方程

提问时间：2020-11-07

答案

(1) 两个定圆的圆心为F1(-5,0),F2(5,0),半径分别为7和1,设动圆圆心M(x,y),半径为r,
则由条件,得　|MF1|＝7+r,|MF2|=1+r,
从而　|MF1|-|MF2|=6,
由双曲线定义知,M的轨迹是以F1,F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,
于是　a=3,c=5,b²=c²-a²=16,M的轨迹方程为
x²/9 -y²/16=1,x>0
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
16x1²-9y1²=144
16x2²-9y2²=144
相减,得16(x2-x1)(x1+x2)-9(y2-y1)(y1+y2)=0
即　AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=16(x1+x2)/9(y1+y2)=4,
从而L的方程为　y-4=4(x-9),即　4x-y-32=0