题目
数列{an}的通项公式为an=2n+1,n为奇数,2^n,n为偶数,求此数列的前n项和Sn
提问时间:2020-11-07
答案
解决此题一定要分情况讨论,即讨论n是奇数还是偶数.
我们可以将Sn分解成技术项和偶数项,分别进行求和.
an=2n+1 (n=1,3,5,7.),即3,7,11,15,19……
我们可以等效成bn=4n-1 (n=1,2,3,4,5……)
an=2^n (n=2,4,6,8.),即4,16,64,256……
我们可以等效成cn=4^n (n=1,2,3,4,5……)
这样,将一个没有固定求和公式的数列分解成两个有固定求和公式的数列.
现在开始讨论.
当n为奇数时,此数列的和为bn的前(n+1)/2项加上cn的前(n-1)/2项.
当n为偶数时,此数列的和为bn的前n/2项加上cn的前n/2项.
仔细想想是不是?
bn数列的求和公式易得:(3+4n-1)*n/2
当n取(n+1)/2时,Sn1=(n+2)(n+1)/2 当n取n/2时,Sn1=(n+1)n/2
cn数列的求和公式易得:4(4^n-1)/(4-1)
当n取(n-1)/2时,Sn2=2^(n-1) 当n取n/2时,Sn2=2^n
所以,当n为奇数时,Sn=2^(n-1)+(n+2)(n+1)/2
当n为偶数时,Sn=2^n+(n+1)n/2
怎么样,你能明白吗?如果发现不对就给我发消息.如果对了就可怜我点加点分吧.^_^
我们可以将Sn分解成技术项和偶数项,分别进行求和.
an=2n+1 (n=1,3,5,7.),即3,7,11,15,19……
我们可以等效成bn=4n-1 (n=1,2,3,4,5……)
an=2^n (n=2,4,6,8.),即4,16,64,256……
我们可以等效成cn=4^n (n=1,2,3,4,5……)
这样,将一个没有固定求和公式的数列分解成两个有固定求和公式的数列.
现在开始讨论.
当n为奇数时,此数列的和为bn的前(n+1)/2项加上cn的前(n-1)/2项.
当n为偶数时,此数列的和为bn的前n/2项加上cn的前n/2项.
仔细想想是不是?
bn数列的求和公式易得:(3+4n-1)*n/2
当n取(n+1)/2时,Sn1=(n+2)(n+1)/2 当n取n/2时,Sn1=(n+1)n/2
cn数列的求和公式易得:4(4^n-1)/(4-1)
当n取(n-1)/2时,Sn2=2^(n-1) 当n取n/2时,Sn2=2^n
所以,当n为奇数时,Sn=2^(n-1)+(n+2)(n+1)/2
当n为偶数时,Sn=2^n+(n+1)n/2
怎么样,你能明白吗?如果发现不对就给我发消息.如果对了就可怜我点加点分吧.^_^
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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