题目

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁与它的侧视图（或称左视图），E是DD₁上一点，AE⊥B₁C．

（1）求证AE⊥平面B₁CD；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

提问时间：2020-11-07

答案

证明：（1）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以CD⊥平面ADD₁A₁…（2分）
AE⊂平面ADD₁A₁，所以CD⊥AE…（3分）
因为AE⊥B₁C，CD∩B₁C=C，所以AE⊥平面B₁CD…（5分）
（2）连接A₁D，因为AE⊥B₁CD，所以AE⊥B₁C…（6分），
因为A₁D∥B₁C
所以AE⊥A₁D…（7分）
所以△ADE∽△A₁AD…（8分），所以

AD

DE

＝

AA 1

AD

…（9分）
因为AD=2，AA₁=4
所以，DE＝

AD2

AA1

=

2×2

4

＝1（10分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以DE是三棱锥E-ACD的高…（11分），
所以三棱锥E-ACD的体积V_E-ACD=

1

3

×

1

2

×AD×CD×DE=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

…（13分）．