题目

如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S_△ABE=3，S_△ECF=8，S_△ADF=5，则矩形ABCD的面积为______．

提问时间：2020-11-07

答案

如图，
S_△ABE=3，即

1

2

AB•BE=3，
S_△ECF=8，即

1

2

EC•CF=8，
S_△ADF=5，即

1

2

AD•DF=5，
∴BE•（DF+CF）=6，即BE•DF+BE•CF=6，①
（BE+EC）•DF=10，即BE•DF+EC•DF=10②
②-①得DF•EC-BE•CF=4，DF•EC=4+BE•CF③，
①+②得2BE•DF+BE•CF+EC•DF=16，
即2（6-BE•CF）+BE•CF+EC•DF=16④，
由

1

2

EC•CF=8可知，EC•CF=16，
则BE•FC=4，BE•DF=2，
即四边形AHMG的面积为2，
则S_矩形ABCD=S_ABEG+S_ECFM+S_AHFD-S_AHMG=6+16+10-2=30．
故此题答案为30．
作EG⊥AD交AD于G，FH⊥AB交AB于H，FH与EG交于Q．
由已知条件和作图条件可知，
AD=BC=FH，AB=CD=EG，CE=FQ=DG，BE=QH=AG，DF=QG=AH．
AB•BE=3×2（1），
AD•DF=5×2（2），
CF•CE=CF•（BC-BE）=CF•BC-CF•BE=2×8（3），
CF•CE=（CD-DF）EC=EC•CD-EC•DF=2×8（4），
（1）+（4）得：AB•BC-EC•DF=22（5），
（2）+（3）得：AD•CD-CF•BE=26（6），
（5）-（6）得：EC•DF-CF•BE=4，
因CF=EQ，EC=FQ，所以FQ•DF-EQ•BE=4，
S四边形FQGD-S四边形BEQH=4，
设S四边形BEQH=x，S四边形FQGD=x+4，

S四边形FQGC

S四边形FQEC

=

GQ

QE

=

S四边形AGQH

S四边形BEQH

（在两个矩形中，长和宽如有一边对应相等，那么对应的另一边的比等于两个矩形面积的比），
设S_{四边形AGQH}=y，

x+4

8×2

＝

y

x

，
y=

x(x+4)

16

，
S_{四边形ABEG}=2S_△ABE=2×8=16，
又∵S_{四边形ABEG}=S_{四边形AGQH}+S_{四边形BEQH}=

x(x+4)

16

+x=3×2=6，
解得：x₁=4，x₂=-24（不合题意舍去）
S_矩形ABCD=S_{四边形AGQH}+S_{四边形BEQH}+S_{四边形ECFQ}+S_{四边形FQGD}=y+x+8*2+x+4=x（x+4）/16+x+8*2+x+4=4*（4+4）/16+4+16+4+4=30