题目

设命题p：方程4x²+4（a-2）x+1=0无实数根； 命题q：函数y=ln（x²+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-11-07

答案

若p为真命题，则△=16（a-2）²-16=16（a-1）（a-3）＜0恒成立 …（2分）
解得1＜a＜3    …（3分）
若q为真命题，则△=a²-4≥0恒成立，…（5分）
解得a≤-2或a≥2  …（6分）
又由题意知命题p或q为真命题，p且q为假命题
∴p和q有且只有一个是真命题，
若p真q假，∴

1＜a＜3 −2＜a＜2

，∴a的范围为：1＜a＜2…（8分）
若p假 q真，∴

a≤1或a≥3 a≤−2或a≥2

，a的范围为：a≤-2或a≥3 …（10分）
综上所述：a∈（-∞，-2]∪（1，2）∪[3，+∞）…（12分）

先分别求得p为真命题，q为真命题时，a的范围，再根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，可得p和q有且只有一个是真命题，从而分p真q假，p假 q真，分别求得a的范围，最后求出它们的并集即可．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；复合命题的真假；对数函数的值域与最值．

考点点评：本题以命题为载体，考查复合命题的真假运用，解题的关键是根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，可得p和q有且只有一个是真命题．