题目

如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．
求证：（1）△AMB∽△DMC；
（2）AB²=BF•BD．

提问时间：2020-11-07

答案

证明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC；
（2）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，
∴∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，
∴∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，
∴△BAD∽△BFA，
∴

BD

AB

=

AB

BF

，
∴AB²=BF•BD．