题目

用f(N)表示自然数N的各数位上数字和,在N大于2,求所有的N,使f(N的七次方)等于N.

提问时间：2020-11-07

答案

没想到什么好方法,只能结合简单估计枚举验算.
设N为k位数,即10^(k-1) ≤ N < 10^k,则N^7 < 10^(7k).
N^7至多有7k位,f(N^7) ≤ 9·7k = 63k.
可以证明k ≥ 4时,63k < 10^(k-1),此时必有f(N^7) < N,因此N至多为一个3位数.
又N至多为3位数,f(N^7) ≤ 189,故只需考虑N ≤ 189.
189^7 < 200^7 = 128·10^14,至多有17位,于是对N ≤ 189,f(N^7) ≤ 9·17 = 151.只需考虑N ≤ 151.
可算得151^7 < 2·10^15,至多为16位数,且若为16位数则第一位为1.
于是对N ≤ 151,f(N^7) ≤ 1+9·15 = 136,只需考虑N ≤ 136.
此后这种估计就没什么作用了,还可考虑的一点是除以9的余数.
f(N^7)与N^7除以9的余数相等,于是N^7与N除以9的余数相等.
由此可排除除以9余3或6的数.
剩下的数大概只能逐一验算了,我用软件算了一下,满足条件的N有8个:
18,27,31,34,43,53,58,68.