题目

设函数f x=e∧x-k/2x∧2-x 1 若k=0 求fx的最小值 2 若当x≥0
设函数f x=e∧x-k/2x∧2-x
1 若k=0 求fx的最小值
2 若当x≥0时fx≥1求实数k的取值范围

提问时间：2020-11-07

答案

（1）函数f(x) = ex– (k/2)x2 – x,当k = 0时,f(x) = ex – x,求导可得f ’(x) = ex– 1 ；
1）当x < 0时,ex< e0 = 1,所以f ’(x) = ex – 1 < 0,此时f(x)单调递减,计算f(0) = e0– 0 = 1 （函数f(x)在x∈(-∞,0]上从+∞单调递减到0）；
2）当x > 0时,ex> e0 = 1,所以f ’(x) = ex – 1 > 0,此时f(x)单调递增（函数f(x)在x∈[0,+∞)上从0单调递增到+∞）；
综上所述,k = 0时,当且仅当x = 0时,f(x)的最小值是1 .
（2）令F(X)=e^x-(k/2)x^2-x -1,则F'(X)=e^x-kx-1,
当k-=1时,曲线y=e^x 与直线 y=kx+1切于点（0,1）,
故k≤1.
（当x≥0时,F'(X)=e^x-kx-1≥0）