题目

平面内有n（n大于等于2）条直线,其中任意两条直线都相交,任意三条直线不过同一点,设其交点个数为An.
写出An-1到An的递推关系式.

提问时间：2020-11-06

答案

这个问题运用等比数列求和公式来计算非常简单.答案应该是：An = n.(n -1 )/2 =A(n-1) + (n-1)
为什么会得出这样一个结论呢?首先让我来验算一下好了.
由于本题提出的前提条件是任意两条都相交,任意三条直线不交于一点.那么当直线的条数为2条的时候,An（交点个数）根据以上公式得出的结果是1个.当直线的条数为3条时,得出的An（交点个数）是3个.以此类推,当直线为4条时,交点个数为6个,5条直线的交点为10个……而通过实际统计,答案完全与实际测量的结果吻合!
其次,具体的计算方法
我们先以直线为3条开始算,很简单,根据题目给出的条件,我们只要简单统计一下就能得出它们之间的交点为3个.当直线为4条时,交点就应该是3+3=6个.因为第四条直线会与前三条相交,从而多出3个交点.同样以此类推,当直线的条数为n条时,整个平面内的交点总个数就比n-1条时多出n-1个.这就是它们的内在规律.
此时我们按照等比数列求和的方法,就可以建立一个式子.这个式子是基于直线条数为3时开始的,所以An = [(3 + n-1).(n - 3)]/2 + 3 = n.(n -1 )/2