题目

算球面积
我用积分法求球面积时S=∫2π*(R^2-x^2)^0.5*dx=2π^2R^2,不等于4πR^2啊,我错在哪里,算球体表面积能不能像算体积那样用积分法啊?

提问时间：2020-11-06

答案

其实可以是可以的 不过 你的积分变量选择错了
我们不妨用参数方程来讨论这道题目 x=rcost y=rsint
你的想法是可以理解的,因为以前我也试过这么做,就是用无数个圆周去拟合一个圆面,但是,这个拟合过程容易出错,因为圆周是按着一个圆弧的方向叠加的,按圆弧方向叠加,则既要考虑x方向的累积,也要考虑y方向的累积 这个时候,选择的微元就不是dx 而是 d(x^2+y^2)^(1/2)
这样事实上 S=2πR^2∫sintd(sin^2t+cos^2t)^(1/2) |(pi/2,-pi/2)
注意 变元变成了 d1 这确实很诡异...
于是 变成 2πR^2 *sint|(pi/2,-pi/2) =4πR^2
由于通常,这样的思路在高数是完全不讲的,所以会显得很诡异...