题目

如何建立[0,1]到R的一一对应的映射?
即：f:[0,1]-->R
x |->
注意是闭区间[0,1]——感谢sunshine同学提醒
是一一对应，单射+满射

提问时间：2020-11-06

答案

建立[0,1]到R的一一对应的映射
这是一个"实变函数"课程中的典型问题,要用到集合"势"的概念.
在讲此题前,我先形象地说说"集合势",集合分有限集和无限集,
有限集的"势",就是元素的个数; 而对于无限集来说,它也有"哪一个无限集里的元素多"的比较.所以,针对无限集,元素个数的多少,就要用到"势"的概念.
如果两个集合A,B的势相等,我们就说"这两个无限集里的元素个数是一样多的"
那么如何说明"两个无限集里的元素个数是一样多的"呢?
这个问题对于有限集,很简单,分别数一下两个元素的个数,如果个数相等即可.但是当它们是无限集,你就没有办法数了.因为你数来数去它们都是无穷多个,永远也数不完.
这时,"实变函数"论里,就提出了判断两个无限集势大小的方法,就是利用了"一一对应(或者叫双射,既满又单),也就是说,如果两个无限集,找到一个映射f,而且f是一个双射,那么这两个集合就等势.所以,你的问题,其实就是要找[0,1]到R的双射f,即如果这个双射f是存在的,那么[0,1]与R等势.
事实上,我可以告诉你[0,1]与R是等势的.即这样的双射f存在.
为什么这样说呢,我分两步告诉你,
第一步,你要证明(0,1)与R等势
第二步,你要证明[0,1]与(0,1)等势
这样,由“等势”关系的传递性,知[0,1]与R等势
第一步,(0,1)与R等势,这非常好证明,因为
ctan(x) 就是一个从(0,pi)到R上的双射,因此,我把定义域(0,pi)压缩一下,自变量乘以pi,即为
g(x)=ctan(pi*x)就是一个从(0,1)到R上的双射.所以这样的双射找到了,是g(x)=ctan(pi*x).因此(0,1)与R等势
第二步,证明[0,1]与(0,1)等势
这里你一开始理解可能无从下手,但是有一个技巧,也就是要找一个从[0,1]到(0,1)的双射,是这样找的.
首先,把[0,1]和(0,1)分别分解如下：
[0,1]=(0,1)Q ∪ （Q∪{0}∪{1}）
(0,1)=(0,1)Q ∪ Q
上面的Q={1/n | n=2,3,4,.}是的集合（这是一个“可列集”,它是“势最小的”无限集）
这样我们其实把[0,1]和(0,1)都分解成了两部分
在它们的公共部分(0,1)Q到(0,1)Q上,我取一个恒等映射idx(x) 这里x∈(0,1)Q
在它们的不同部分（Q∪{0}∪{1}）到Q上,我取映射h(x),
h(x)=
{
若x=0,h(x)=1/2;
若x=1,h(x)=1/3;
若x∈Q,即x=1/n (n=2,3,4...) ,则h(x)=h(1/(n+2)) (n=2,3,4.)
}
h(x)中的x∈（Q∪{0}∪{1}）
于是我令
p(x)=
{
若x∈(0,1)Q,p(x)=idx(x);
若x∈(Q∪{0}∪{1}),p(x)=h(x);
}
这样构造出来的p(x)就是一个从[0,1]到(0,1)上的双射
也就证明了[0,1]与(0,1)等势
综合,第一步和第二步,我再取
f(x)=g(p(x))
即,f(x)是先从[0,1]通过p映到(0,1),再通过g由(0,1)映到R
就是让f是p与g的复合函数.
这样构造的f显然是双射,因为p与g都是双射.
所以你要的f找到了,同时也说明了[0,1]与R是等势的.
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最后整理一下你要的f(x)一一对应表达式,
f(x)=g(p(x)),
其中
g(x)=ctan(pi*x),
p(x)={
若x∈(0,1)Q,p(x)=idx(x);
若x∈(Q∪{0}∪{1}),p(x)=h(x);
}
这里的
idx(x)是等恒映射,
h(x)=
{
若x=0,h(x)=1/2;
若x=1,h(x)=1/3;
若x∈Q,即x=1/n (n=2,3,4...) ,则h(x)=h(1/(n+2)) (n=2,3,4.)
}
这就是你要的答案
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