题目

比较纠结的高中函数问题
已知函数f（x）=x²+ax+b（a,b∈R）,g（x）=2x²-4x-16,
（1）求不等式g（x）＜0的解集.
（2）若f（x）的绝对值≤g（x）的绝对值对于x∈R恒成立,求a,b
看下我的第二问的解法为啥不对,
∵f（x）的绝对值≤g（x）的绝对值,∴f²（x）≤g²（x）
即（g（x）+f（x））（g（x）-f（x））≥0
整理的（3x²+x（a-4）-16）（x²-x（a+4）-（b+16））≥0
即（3x²+x（a-4）-16）≥0且（x²-x（a+4）-（b+16））≥0（1）
或（3x²+x（a-4）-16）≤0且（x²-x（a+4）-（b+16））≤0.（2）
由g（x）的△＞0可知（2）式舍去,则解（1）式的两个方程的△均≤0,可以得到a,b的式子,但是这样推出来得到a,b的关系是矛盾的,a,b无解这是为什么,过程中难道不全是充要条件吗?哪一步是必要不充分条件啊?3q

提问时间：2020-11-06

答案

你这样想,f（x）的绝对值≤g（x）的绝对值对于x∈R恒成立,
那么在g（x）= 0的两个点也要成立,绝对值小于等于0的只有0,
说明这两个点也是f（x）= 0的点,a,b不是立刻就得到了吗?
你这样解太麻烦了,但也不能说错,至少前面没错（除了（1）式和（2）式的前一个方程漏写了b,相信只是笔误）,错就错在你舍去了（2）式.事实上（1）式和（2）式都不是对全部x∈R成立,而是各自对某一段x成立,合起来刚好拼成所有的x∈R.所以你说（1）式的两个方程的△均≤0是不对的.