题目

设n个人排成一行,甲与乙是其中的两个人,求这n个人的任意排列中,甲与乙之间恰有r个人的概率

提问时间：2020-11-06

答案

总样本点数为n!.下面求满足条件的样本点数:
将二人拿出,其余n-2个人的全排列数为(n-2)!
对每一种排列,从一端第一人开起,数到第r个人,为第一组,其两端插入甲与乙.再从该端的第二人开始数到第r个人,为第二组,在其两端插入甲与乙,...,
这样,一直到另一端.这样的组数
共有:n-2-r+1=n-r-1.
考虑到二人可以交换位置,故满足条件的样本点数为:2*(n-r-1)*[(n-2)!]
故所求概率为:p=2*(n-r-1)*[(n-2)!]/{[n!]
=2*(n-r+1)/[n(n-1)]
即p=2*(n-r+1)/[n(n-1)]