题目

求教!一个转动惯量和能量的问题,紧急!
质量分别为M和m的两物体系于原长为a,倔强系数为k的弹簧的两端,并放在光滑水平桌面上,现使M活得一与弹簧垂直的速度v,是证明：若v=3a√（k/2μ）,其中μ为折合质量,则在以后的运动过程中,两物体之间的最大距离为3a.
我不是要各位解,我是想问怎么解释答案.
（1）什么叫折合质量?有啥用?
（2）答案中有一步是用角动量定理,由于整个系统没有力矩,所以角动量不变,于是答案是J1*ω1=J2*ω2.其中ω1是v/(ma/(M+m)),ω2是长度最大时候的角速度.我的问题是这里的角速度是相对于质心而言的吗?如果是,那么M的相对速度就要小于v了,ω1是v/(ma/(M+m))这句话又是怎么来的呢?
（3)答案中还有一步,是机械能守恒中的.对于长度最大时候,机械能为：质心动能+0.5*J2*ω^2+弹性势能.我的问题是这里的0.5*J2*ω^2怎么来的呢?这个公式是怎么来的呢?这个公式是不是还有什么关于转动惯量和能量的定理呢?
请各位大侠讲讲!困扰我好久了!
证明。

提问时间：2020-11-05

答案

（1）折合质量一般用于两体问题,考虑其中一个物体相对与另一物体的运动时所用.
比如以m为参考系：m是非惯性参考系,由于两体实际两者的加速度为a,A
ma=-MA=F12=-F21=F
故对于M而言,应受到惯性力-Ma,在m的参考系中M的加速度为b
Mb=-Ma-ma
如果不考虑惯性力,则可以看成折合质量在力F=-ma下的运动,记折合质量为μ,则μb=-ma
这样：μ=-ma/b=mM/(m+M)
本题就是一个应用,这时考虑问题就如同惯性参考系一样,可以用所有力学定律.
弹簧最长时径向速度为0,
角动量守恒：va=v'a'；①
能量守恒：1/2μv^2=1/2μv'^2+1/2k(a-a')^2.②
把v=3a√（k/2μ）代入上两式立即可证.
（2）转轴可任意选取,转动看成绕瞬心或质心转动较简单,在计算时哪点都无所谓,只不过需要用的是相对速度（以质心或端点来看）：
Va=Vc+ω×(Ra-Rc)
Vb=Vc+ω×(Rb-Rc)
Va-Vb=ω×(Ra-Rb)
如果涉及角动量,在选取转轴时应选择能使之守恒的转轴.
（3）总动能=质心平动动能+绕质心的转动动能（这个上次问题已证）
对于转动动能：
E=∑1/2miVi^2=1/2∑miRi^2 ω^2=1/2Jω^2
这里J称转动惯量.