题目

什么是矩阵对角化,给我举个简单的例子,谢谢

提问时间：2020-11-05

答案

我用自己的语言说,希望能方便你明白
矩阵对角化源自于线形变换的化简,所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）
设一线性变换a,在基m下的矩阵为A,在基n下的矩阵为B,m到n的过度矩阵为X,
那么可以证明：B=X'AX （X'是X的转置,注意X是满秩的）
那么定义：A,B是2个矩阵.如果存在可逆矩阵X,满足B=X'AX ,那么说A与B是相似的（是一种等价关系）.
如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B,那么说A可对角化.
相应的,如果线性变换a在基m下的矩阵为A,并且A相似于对角矩阵B,那么另X为过度矩阵即可求出基n,并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵,从而达到了化简.