题目
已知三角形ABC的三个内角ABC成等差数列,其外接圆半径为1,且sinA-sinC+(√2/2)cos(A-C)=√2/2
①求A B C
②求三角形ABC的面积
①求A B C
②求三角形ABC的面积
提问时间:2020-11-05
答案
有两种情况,
1.A=B=C=60°
2.A=105°,B=60°,C=15°
解法,首先A,B,C成等差数列,所以A+B+C=3B=180°,即B=60°,A+C=120°
然后,由已知得
sinA-sinC+(√2/2)cos(A-C)=2cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]+(√2/2)cos(A-C)=sin[(A+C)/2]+(√2/2)cos(A-C)=sin[(A-C)/2]+(√2/2)-√2{sin[(A-C)/2]}^2=√2/2
所以sin[(A-C)/2]-√2{sin[(A-C)/2]}^2=0,
所以sin[(A-C)/2](1-√2sin[(A-C)/2])=0,
得,A=C或A-C=90°
即得A=B=C=60°或A=105°,B=60°,C=15°
面积的话,设a,b,c为A,B,C的对边
1.a=b=c=2Rsin60°=√3,所以S=√3/4*a^2=3√3/4
2.a=2sin105°,c=2sin15°,所以
S=1/2acsinB=√3sin105°*sin15°
=-√3/2[cos(105°+15°)-cos(105°-15°)]=√3/4
1.A=B=C=60°
2.A=105°,B=60°,C=15°
解法,首先A,B,C成等差数列,所以A+B+C=3B=180°,即B=60°,A+C=120°
然后,由已知得
sinA-sinC+(√2/2)cos(A-C)=2cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]+(√2/2)cos(A-C)=sin[(A+C)/2]+(√2/2)cos(A-C)=sin[(A-C)/2]+(√2/2)-√2{sin[(A-C)/2]}^2=√2/2
所以sin[(A-C)/2]-√2{sin[(A-C)/2]}^2=0,
所以sin[(A-C)/2](1-√2sin[(A-C)/2])=0,
得,A=C或A-C=90°
即得A=B=C=60°或A=105°,B=60°,C=15°
面积的话,设a,b,c为A,B,C的对边
1.a=b=c=2Rsin60°=√3,所以S=√3/4*a^2=3√3/4
2.a=2sin105°,c=2sin15°,所以
S=1/2acsinB=√3sin105°*sin15°
=-√3/2[cos(105°+15°)-cos(105°-15°)]=√3/4
举一反三
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