题目

设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f（m+n）=f（m）•f（n）,且当x>
设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f（m+n）=f（m）•f（n）,
且当x>0时,0

提问时间：2020-11-04

答案

（1）令m=n=0 那么有f（0）=f（0)^2
则f（0）=0或1
若f（0）=0 那么令m=0 n>0那么f（m+n）=f（0+n）=f（0）f（n）=0
这样对于任何n>0都有f（n）=0 这与条件x>0时0所以f（0）=1
令n=-m 那么有f（m+n）=f（0）=f（m）f（-m）=1
所以f（m）和f（-m）互为倒数
设m属于0到正无穷 那么f（m）就在0到1之间
所以其倒数f（-m）就在1到正无穷上 所以当x<0时,有f(x)>1
（2）设n>0 那么对于对于实数m有f(m+n)=f(m)f(n)
因为n>0 所以f(n)在0到1之间
又因为函数f(x)在R上恒大于0 所以f(m+n)m
所以对于任意实数x2>x1 都有f（x1）>f（x2）
所以函数f（x）在R上单调递减