题目

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．

（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

提问时间：2020-11-04

答案

（1）证明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，所以BB₁D₁D是平行四边形，
所以B₁D₁∥BD．
而BD⊂平面A₁BD，B₁D₁⊄平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）证明：因为BB₁⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB₁⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥面BB₁D，
而MD⊂面BB₁D，所以MD⊥AC．
（3）当点M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D
取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM．
因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC₁D₁的交线，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁．
又可证得，O是NN₁的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC₁D₁D，因为OM⊂面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．