题目
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1 2 ,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3. (Ⅰ)求椭
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为
12,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若过点P(0,m)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且
AP=3
PB,求实数m的取值范围.
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,且椭圆的左顶点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的标准方程:
(2)若过点p(0,m)的直线l与椭圆c交于不同的两点A,且向量AP=向量3PB,求实数m的取值范围。
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为
12,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若过点P(0,m)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且
AP=3
PB,求实数m的取值范围.
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,且椭圆的左顶点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的标准方程:
(2)若过点p(0,m)的直线l与椭圆c交于不同的两点A,且向量AP=向量3PB,求实数m的取值范围。
提问时间:2020-11-04
答案
(1)设椭圆的标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1
∵e=1/2 ∴c=√(a^2-b^2)=a/2
∵左顶点到右焦点的距离为3
∴a+c=3 a+a/2=3 a=2 c=1 b=√3
椭圆的标准方程为:x^2/4+y^2/3=1
(2)设过点p(0,m)的直线l的方程:y=k*x+m
与x^2/4+y^2/3=1联立求出A、B坐标:
(-2[2km-√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2),[2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))
(-2(2km+√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2),[-2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))
AP=(-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)],-k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)])
PB=( 1/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)],k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)])
∵向量AP=向量3PB
∴-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]
-k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]
∴4km+2√(9-3m^2+12k^2)=-12km+6√(9-3m^2+12k^2)
4km=√(9-3m^2+12k^2)
16k^2m^2=9-3m^2+12k^2
(16k^2+3)m^2=9+12k^2
m^2=(9+12k^2)/(3+16k^2)
∵e=1/2 ∴c=√(a^2-b^2)=a/2
∵左顶点到右焦点的距离为3
∴a+c=3 a+a/2=3 a=2 c=1 b=√3
椭圆的标准方程为:x^2/4+y^2/3=1
(2)设过点p(0,m)的直线l的方程:y=k*x+m
与x^2/4+y^2/3=1联立求出A、B坐标:
(-2[2km-√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2),[2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))
(-2(2km+√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2),[-2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))
AP=(-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)],-k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)])
PB=( 1/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)],k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)])
∵向量AP=向量3PB
∴-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]
-k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]
∴4km+2√(9-3m^2+12k^2)=-12km+6√(9-3m^2+12k^2)
4km=√(9-3m^2+12k^2)
16k^2m^2=9-3m^2+12k^2
(16k^2+3)m^2=9+12k^2
m^2=(9+12k^2)/(3+16k^2)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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