题目

三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.如何证明

提问时间：2020-11-04

答案

根据重心的性质：G为重心,则GA:GD=2:1.

重心是中线的交点,所以AG与BC的交点是边的中点,即D是BC中点.

因为O为外心,外心是垂直平分线的交点,而D是BC中点,所以OD⊥BC.

H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.

（下面一段是百度百科上的,已经写得很清楚了）

连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 　　连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA.

所以AH:OD=GA:GD,

又GA:GD=2:1,

所以AH:OD=2:1,