题目

证明：对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小.
如何证明？

提问时间：2020-11-04

答案

如上图所示：
OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥BC,OE=OF=OD=r
S三角形ABC=S三角形AOB+S三角形BOC+S三角形AOC
                   =1/2AB*OE+1/2AC*OD+1/2BC*OF

                   =1/2(AB+AC+BC)r

根据三元均值不等式性质a≥0,b≥0,c≥0, (a+b+c)/3≥abc开三次方（当且仅当a=b=c取等号）
可知三角形ABC面积最小的时候就AB+AC+BC取最小值,即当AB=AC=BC时,面积最小.
所以对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小