题目

在△ABC中,若tan【（A-B）/2】=（a-b）/（a+b）,则△形状为
不用和差化积公式

提问时间：2020-11-04

答案

(a-b)/(a+b)
利用正弦定理得
=(sinA-sinB)/(sinA+sinB)
={sin[(A+B)/2+[(A-B)/2]-sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sin[(A+B)/2+[(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}
分别展开合并得
={2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]}
=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]
因为tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b)
所以tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2] =tan「(A-B)/2」
所以tan[(A+B)/2] =1或tan[(A-B)/2]=0,
即(A+B)/2]=45°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.
由正弦定理等式转换为：
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sinB)
由三角函数的和差化积的公式得：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：
tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.