题目

已知函数f（x）=2^x-2^-x.数列｛an｝满足f（log2 an）=-2n
1.求数列｛an｝的通项公式 2.通过bn=an+n,构造一个新数列｛bn｝,证｛bn/n｝是递减数列
第一个问我算到了an-1/an=-2n,在往下应该怎么算啊,好像数列是两个吗,

提问时间：2020-11-03

答案

(1)你算到an-1/an=-2n之后可以将其转化为an-1/an+2n=0
而后等式两边同乘an即an^2-1+2nan=0即an^2+2nan-1=0
然后将an当成未知数,用一元二次方程求根公式：x=(-b±√b^2-4ac)/2a
an=(-2n±√(2n)^2+4)/2=-n±√(n^2+1)
又因为数列｛an｝满足f（log2 an）=-2n
所以an>0
所以an=√(n^2+1)-n
(2)bn=an+n=√(n^2+1)
bn/n=√(n^2+1)/n
假设n10
所以｛bn/n｝是递减数列