题目

已知定义在（-1，1）上函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（1-a）+f（1-a²）＜0，如果f（x）是（-1，1）上的减函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-11-03

答案

解、由f（1-a）+f（1-a²）＜0得f（1-a）＜-f（1-a²），
∵f（-x）=-f（x），
∴不等式等价为f（1-a）＜f（a²-1），
由于f（x）是（-1，1）上的减函数，
∴

−1＜1−a2＜1 −1＜1−a＜1 1−a＞a2−1

，即0＜a＜1，
故a的取值范围是0＜a＜1．

根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可．

本题考点：抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．