题目
过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交于mn两点,求证:向量AM乘以向量AN为定值
提问时间:2020-11-03
答案
直线l:y=kx+1
代入圆c(X-2)^2+(Y-3)^2=1
得:(x-2)^2+((kx-2)^2=1
即(1+k²)x²-(4+4k)x+7=0
需Δ=16(1+k)-28(1+k²)>0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4(k+1)/(k²+1)
x1x2=7/(k²+1)
∴向量AM.向量AN
=(x1+y1-1)●(x2,y2-1)
=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+kx1*kx2
=(1+k²)x1x2
=(1+k²)*7/(1+k²)
=7
即向量AM.向量AN=定值7
法二:几何法
| AC|=2√2
过A向圆引切线AD
|AD|²=|AC|²-r²=8-1=7
根据切割线定理:
|AM||AN|=|AD|²=7
又向量AM,AN夹角为0
∴向量AM.向量AN=|AM||AN|=7
希望能帮到你,谢谢采纳!
代入圆c(X-2)^2+(Y-3)^2=1
得:(x-2)^2+((kx-2)^2=1
即(1+k²)x²-(4+4k)x+7=0
需Δ=16(1+k)-28(1+k²)>0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4(k+1)/(k²+1)
x1x2=7/(k²+1)
∴向量AM.向量AN
=(x1+y1-1)●(x2,y2-1)
=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+kx1*kx2
=(1+k²)x1x2
=(1+k²)*7/(1+k²)
=7
即向量AM.向量AN=定值7
法二:几何法
| AC|=2√2
过A向圆引切线AD
|AD|²=|AC|²-r²=8-1=7
根据切割线定理:
|AM||AN|=|AD|²=7
又向量AM,AN夹角为0
∴向量AM.向量AN=|AM||AN|=7
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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