题目

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，AC平分∠DAB，点E为AC的中点．求证：DE=

1

2

BC

提问时间：2020-11-03

答案

证明：证法一：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC．（1分）
∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．（1+2分）
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，（2分）
∵AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°．（1分）
∴△AED∽△ACB．
∴

DE

BC

＝

AE

AC

＝

1

2

．
∴DE=

1

2

BC．（2+2+1分）
证法二：
延长DE交AB于点F，（1分）
∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，（1分）
∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．（1+2分）
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，（2分）
∵AC⊥BC，∴∠CED=∠ACB=90°，
∴EF∥BC．（1分）
∴点F是AB的中点．
∴EF=

1

2

BC．（1+1分）
∵

DE

EF

＝

CE

AE

，
∴DE=EF=

1

2

BC．（1+1分）