题目

设二次函数f(X)=ax²+bx+c(a,b,c属于R）满足下列条件①当X属于R时,其最小值为0且f(x-1)=f（-x-1）成立②当x属于（0,5）时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立,（1）求f（1）的值（2）求F（x）的解析式（3）求最大的实数m（m>1)使得存在t属于R,只要当x属于【1,m】时就有f（x+1）《x成立

提问时间：2020-11-03

答案

(1)
因为1属于（0,5),因此1<=f(1)<=2*|1-1|+1=1
=>1<=f(1)<=1
=>f(1)=1
(2)
f(1)=1=>a(1+1)^2=1
=>a=1/4
=>f(x)=(x+1)^2/4
(3)
又(x+1)^2/4-x=(x-1)^2/4>=0
因此（x+1)^2/4>=x
显然,x属于[1,m]时,是单调递增区间,要使x属于[1,m]时,都有f(x+t)<=x成立,那么t必小于0
因此题目要求实际就相当于把f(x)的曲线右平移|t|,使得（1,f(1))点刚好在曲线y=x上,m实际就是y=x和平移后的f(x)曲线的另一交点的x值.这样f(x+t)的曲线在【1,m】区间都在y=x直线下方,满足题目要求.
令：f(x+t)=(x+t+1)^2/4=x
=>(x+t+1)^2/4=x
=>x^2+2(t-1)x+(t+1)^2=0 (a)
又曲线通过(1,1）点,因此1是它的一个解
=》1+2(t-1)+(t+1)^2=0
=>t=-4
将t=-4代入（a)
=>x^2-10x+9=0
=>x1=1,x2=9
因此m=x2=9
因此这个最大的实数m的值为9