题目
椭圆((((x)^(2)))/(((a)^(2))))+((((y)^(2)))/(((b)^(2))))=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点B,
F为椭圆左焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=θ,且θ∈[15°,45° ],则该椭圆的离心率的取值范围是多少?
F为椭圆左焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=θ,且θ∈[15°,45° ],则该椭圆的离心率的取值范围是多少?
提问时间:2020-11-03
答案
∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设右焦点为F′
根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点,且|OF|=c,∴|AB|=2c
又|AF|=2csinθ …②
|BF|=2ccosθ …③
②③代入①2csinθ+2ccosθ=2a
∴ c/a= 1/(sinθ+cosθ)
即e= 1/(sinθ+cosθ)= 1/[√2(sin(θ+π/4))
∵θ∈[ π/12,π/4],
∴ π/3≤θ+π/4≤ π/2
∴ √3/2≤sin(θ+ π/4)≤1
√6/2≤√2(sin(θ+π/4) ≤√2.
∴ √2/2≤e≤ √6/3.
∴B也在椭圆上
设右焦点为F′
根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点,且|OF|=c,∴|AB|=2c
又|AF|=2csinθ …②
|BF|=2ccosθ …③
②③代入①2csinθ+2ccosθ=2a
∴ c/a= 1/(sinθ+cosθ)
即e= 1/(sinθ+cosθ)= 1/[√2(sin(θ+π/4))
∵θ∈[ π/12,π/4],
∴ π/3≤θ+π/4≤ π/2
∴ √3/2≤sin(θ+ π/4)≤1
√6/2≤√2(sin(θ+π/4) ≤√2.
∴ √2/2≤e≤ √6/3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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