题目

设A为n×s矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的B,使得P=（A,B)可逆,且
B的转置乘以A=0,B下面好像有个下标是n（n-s）

提问时间：2020-11-03

答案

R(A^T)=s
A^Tx=0 的基础解系含 n-s 个向量,令其构成矩阵B
则B为列向量线性无关的 n行n-s列矩阵
且有 A^TB=0,即有 B^TA=0
由于 B 的列与 A^T 的行正交 (齐次线性方程组的解与系数矩阵的行正交)
所以 B 的列与A的列正交
而 A 的列,B的列 都线性无关
所以 (A,B) 的列线性无关
即 P 可逆