题目

(nsin(1/n))^n^2在n趋近于无穷大时的极限

提问时间：2020-11-03

答案

n→∞lim(nsin1/n)^n²
=n→∞lim[(sin1/n)/(1/n)]^n²
=x→0lim[(sinx)/x)]^(1/x)²
=x→0lime^ln[(sinx)/x)]^(1/x)²
=x→0lime^[(1/x)²]ln[(sinx)/x)]^(1/x)²
=x→0lime^{[(1/x)²]*ln[(sinx)/x)]}
=x→0lime^{ln[(sinx)/x)]/x²}
=x→0lime^{[(x/sinx)*(xcosx-sinx)/x²]/2x}（罗比塔法则）
=x→0lime^{[(x/x)*(xcosx-x)/x²]/2x}（等量替换）
=x→0lime^{[(cosx-1)/2x²]}
=x→0lime^{[(-sinx)/4x]}（罗比塔法则）
=x→0lime^{[(-x)/4x]}
=x→0lime^{[-1/4]}（等量替换）
=e^(-1/4)