题目

微分方程中有关ln|x|中绝对值的疑问
求解微分方程：
y'+y/x=sinx/x
用常数变易法得
y=e^( ∫-1/x dx)·[c+∫(sinx/x)·(e^ ∫1/x dx)dx]
按理说出现 ∫1/x dx,应该是得到 ∫1/x dx=ln|x|,所以e^( ∫-1/x dx)=1/|x|
但是参考答案中并没加绝对值符号,直接得到e^( ∫-1/x dx)=1/x
而且许多题目中都是这样,为什么呢?
（有人说不会影响结果,但下面两个结果能一样吗?
e^( ∫-1/x dx)=e^-ln|x|=-1/|x| 恒负,
e^( ∫-1/x dx)=e^-lnx=-1/x 可正可负）

提问时间：2020-11-03

答案

过程不重要,关键看最后的结果有没有对x的范围进行了限制.一般出现lnx,lny时,不加绝对值,但是这无形中把变量的范围缩小了,怎样解决这一矛盾?一种方法是直接带绝对值,但后续计算、化简时就会麻烦些.常用的方法是不带绝...