题目

已知△ABC中,∠BAC=45°,以AB、AC为边在△ABC外部作等腰△ABD和△ACE,AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠CAE,连CD
BE并交于F,连AF.
（1）①如图1,若∠BAD=60°,则∠AFE=
②如图2,若∠BAD=90°,则∠AFE=
③如图3,若∠BAD=20°,则∠AFE=
（2）如图4,若∠BAD=a°,猜想∠AFE的度数,并予以证明
（3）如图5,将图2中的△ABD绕点A顺时针B°（45°＜B＜90°）,直接写出∠AFE的度数（不必证明)

提问时间：2020-11-03

答案

(1)若∠BAD=60°,则∠AFE=60度
     若∠BAD=90°,则∠AFE=45度
      若∠BAD=20°,则∠AFE=80度
(2)角AFE=90度-1/2a
如图,过A作AP,AQ分别垂直DC,BE,垂足为P,Q,设BE,AC交于点O
可证得三角形DAC与BAE全等
所以角AEB=ACD
因为角AOE=FOC
所以角CFE=CAE=a
因为角AEB=ACD,AQE=APC=90度,AE=AC
所以三角形AQE与APC全等
所以AP=AQ,即点A到FD,FE的距离相等
所以FA平分角DFE
所以角AFE=1/2DFE=1/2(180度-EFC)=1/2(180度-a)=90度-1/2a

(3)角AFE=135度
如图同理可证AP'=AQ'
所以点A在角B'F'C的角平分线上即F'A平分角B'F'C
角B'F'C=F'B'D'+F'D'B'=AB'D'+AD'B'=90度
所以角AF'C=45度
所以角AF'E'=135度