题目

水以20米³/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．

提问时间：2020-11-03

答案

设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t
又V=

1

3

πr²h
由图知

r

h

＝

6

30

∴r=

1

5

h
∴V=

1

3

π•（

1

5

）2•h³=

π

75

h³
∴20t=

π

75

h³，
∴h=

3	1500 π t

 
于是h′=

3	1500 π

• 

1

3

•t−

2

3

．
当h=10时，t=

2

3

π，
此时h′=

5

π

．
∴当h=10米时，水面上升速度为

5

π

米/分．

利用平行线分线段成比例定理得到水面的半径与水高的关系；利用圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系；对水深求导数即为水上升的速度．

本题考点：实际问题中导数的意义；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查圆锥的体积公式、平行线分线段成比例定理、对水深求导即为水上升的速度．