题目

汶川震后在社会各界的支持和帮助下，汶川一中临时搭建了学校，学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查．调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，若用A_n、B_n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数．
（1）试以A_n表示A_n+1；
（2）若A₁=200，求{A_n}的通项公式；
（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？

提问时间：2020-11-03

答案

（1）由题可知，∵在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，
∴A_n+1=A_n•（1-0.2）+0.3•B_n，
又A_n+B_n=1000，所以整理得：An+1=

1

2

An+300．…（3分）
（2）若A₁=200，且An+1=

1

2

An+300，设An+1+x=

1

2

(An+x)，则x=-600，
∴An+1-600=

1

2

(An-600)，
即{A_n-600}可以看成是首项为-400，公比为

1

2

的等比数列．
∴An=(-400)•(

1

2

)n-1+600；…（9分）
（3）∵A_n=B_n，又A_n+B_n=1000，则A_n=500，
由(-400)•(

1

2

)n-1+600=500得n=3．
即第3个星期一时，选A与选B的人数相等．…（12分）