题目

在四面体ABCD中已知AB垂直CD,AC垂直BD求证AD垂直BC,

提问时间：2020-11-03

答案

过B作BE⊥CD交CD于E,过C作CF⊥BD交BD于F,令BE∩CF＝O.
∵CD⊥AB、CD⊥BE,AB∩BE＝B,∴CD⊥平面ABE,又AO在平面ABE内,∴AO⊥CD.
∵BD⊥AC、BD⊥CF,AC∩CF＝C,∴BD⊥平面ACF,又AO在平面ACF内,∴AO⊥BD.
由AO⊥CD、AO⊥BD,CD∩BD＝D,∴AO⊥平面BCD,∴DO是AD在平面BCD上的射影.
由BE⊥CD、CF⊥BD,BE∩CF＝O,得：DO⊥BC.　［三角形的三条高共点］
结合证得的DO是AD在平面BCD上的射影,得：AD⊥BC.　［三垂线定理］