题目

表面积为2

3

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ___ ．

提问时间：2020-11-03

答案

由题意表面积为2

3

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，故每个侧面三角形的面积都是

3

4

且为等边三角形，设其边长为a，则有

1

2

×a×a×sin60°=

3

4

，解得a=1
故此四点组成的正方形的对角线的长为

2

，球的半径是

2

2

所以此球的体积为

4

3

 ×π×(

2

2

)3=

2

3

π
故答案为

2

3

π

表面积为2

3

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，可得，此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形，其对角线的长度即为球的直径，由此问题归结为求此四点组成的正方形的边长，直径是此边长的

2

倍

本题考点：球的体积和表面积．

考点点评：本题考查球的表面积与体积公式，解此题的关键是理解“表面积为2

3

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，”这个题设条件，得出球的直直径恰好是正八面体中间那个正方形的对角线的长度．本题考查了求的体积公式，三角形的面积公式，对几何空间想像能力要求较高，能想像出此几何体的立体影像．