题目

求证：(1),sin(a+β)sin(a-β)=sin^2a-sin^2β,(2),cos(a+β)cos(a-β)=cos^2a-sin^2β,
(3),sin(a+β) cos(a-β)=sinacosa+sinβcosβ
求证：
1,角θ为第四象限角的充分必要条件是sinθ0
2,角θ为第二象限角的充分必要条件是cosθ

提问时间：2020-11-03

答案

先证明sin(a+β)sin(a-β)=sin^2a-sin^2β,
cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=cos（(α+β)+(α-β)）=cos2α=cos²α-sin²α 1式
cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=cos（(α+β)-(α-β)）=cos2β=cos²β-sin²β 2式
2式-1式得到
2sin(α+β)sin(α-β)=cos²β-sin²β-cos²α+sin²α=2sin²α-1+1-2sin²β
=2sin²α-2sin²β
所以,sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β
对于cos(a+β)cos(a-β)=cos^2a-sin^2β,
cos(a+β)cos(a-β)+sin(α+β)sin(α-β)=cos2β 一式
cos(a+β)cos(a-β)-sin(α+β)sin(α-β)=cos2α 二式
一式和二式相加,
得到2cos(a+β)cos(a-β)=cos2β+cos2=1-2sin²β+2cos²α-1=2cos²α-2sin²β
所以cos(a+β)cos(a-β)=cos^2a-sin^2β
对于sin(a+β) cos(a-β)=sinacosa+sinβcosβ
sin(a+β) cos(a-β)+cos(a+β)sin(a-β)=sin2a 一式
sin(a+β) cos(a-β)-cos(a+β)sin(a-β)=sin2β 二式
一式加二式,得到2sin(a+β) cos(a-β)=sin2a+sin2β=2sinacosa+2sinβcosβ
所以,sin(a+β) cos(a-β)=sinacosa+sinβcosβ
当角θ为第四象限角,则sinθ0,而当sinθ0,则角θ为第四象限角,所以角θ为第四象限角的充分必要条件是sinθ0
当角θ为第二象限角,则cosθ